Hopf 代数：一种同时具有代数与余代数结构，并由对偶映射（如对合/反元映射 antipode）把这些结构相容地联系起来的数学对象，常用于抽象代数、表示论与量子群等领域。（该术语还有更深入的公理化定义，此处给出常用直观说明。）
/hɒpf ˈældʒɪbrə/
A Hopf algebra has both multiplication and comultiplication.
Hopf 代数同时具有乘法与余乘法（对偶的“分裂”运算）。
In quantum group theory, Hopf algebras provide a framework that unifies symmetry, representations, and duality.
在量子群理论中，Hopf 代数提供了一个统一对称性、表示以及对偶性的框架。
“Hopf algebra”以瑞士数学家 Heinz Hopf（霍普夫）命名；该概念在20世纪中期发展成熟，用来抽象化研究群、李代数及其对称结构在代数与对偶运算下的统一形式。“algebra”源自阿拉伯语 al-jabr（“复原/配平”之意），后成为“代数”的通称。
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